空間図形

この単元でおさえること

1. 1

   ねじれの位置は、平行でもなく交わってもいない2直線

   同じ平面の上にない。

2. 2

   投影図は、立面図（正面から見た形）と平面図（真上から見た形）で立体を決める

3. 3

   長方形を1辺を軸に1回転させると円柱、直角三角形なら円すい、半円なら球

4. 4

   おうぎ形の弧の長さも面積も、中心角が 360° のうちどれだけかで決まる

5. 5

   柱体の体積は 底面積×高さ

   すい体の体積は、その3分の1。

6. 6

   球の表面積は 4πr²、体積は 4πr³÷3

   答えは π のままで書く。

できるようになること

1. 空間にある直線や平面の位置関係が分かる
2. 見取図・展開図・投影図から立体を決められる
3. 平面図形を1回転させてできる立体が分かる
4. おうぎ形の弧の長さを求められる
5. おうぎ形の面積を求められる
6. 柱体の体積と表面積を求められる
7. すい体の体積と表面積を求められる
8. 球の表面積と体積を求められる

れんしゅうの問題は、ぜんぶで 227問あります。下の「やってみる」では、そのなかから 8問ずつ出します。

例題で考え方を見る

やってみる

えらんでから、答えをひらいてください。まちがえたときは、どこでちがったのかを見てから、もう一度やります。

1. 1 この立体の名前は何ですか。

   • ア 三角柱
   • イ 球
   • ウ 直方体
   • エ 四角すい
   答えと考え方を見る

   答え ウ 直方体

   見るところ

   …

   底面と側面

   底面の形と、側面の数を見ます

   決まる立体

   →

   直方体

   両方に合う立体は1つだけです

   ア 底面の形と、側面の数をたしかめます

   イ 底面の形と、側面の数をたしかめます

   エ 底面の形と、側面の数をたしかめます

   この問題、へんだと思ったら教えてください。

   答えがちがう気がする 文字や ことばが 読めない 図が出ない・くずれている そのほか

2. 2 この直方体で、辺GHとねじれの位置にある辺はどれですか。

   • ア 辺HE
   • イ 辺CG
   • ウ 辺BF
   • エ 辺AB
   答えと考え方を見る

   答え ウ 辺BF

   見るところ

   …

   GH

   まず、もとになる辺や面を図でたしかめます

   決まり

   …

   平行でもなく、交わってもいない

   3つのうちのどれかに必ず分けられます

   当てはまるもの

   →

   辺BF

   図の上で目でたどって確かめます

   ア この辺は、もとの辺と交わっています

   イ この辺は、もとの辺と交わっています

   エ この辺は、もとの辺と平行です。ねじれの位置は、平行でも交わってもいない辺です

   この問題、へんだと思ったら教えてください。

   答えがちがう気がする 文字や ことばが 読めない 図が出ない・くずれている そのほか

3. 3 直角三角形を、直角をはさむ1つの辺を軸として1回転させてできる立体は何ですか。

   • ア 直方体
   • イ 円柱
   • ウ 三角柱
   • エ 円すい
   答えと考え方を見る

   答え エ 円すい

   回す軸

   …

   1回転させる軸

   どの直線のまわりに回すのかをたしかめます

   通るところ

   →

   円すい

   図形が通ったところ全体が、できる立体です

   ア 軸のまわりに1回転させたときに、図形が通るところを思いうかべます

   イ 軸のまわりに1回転させたときに、図形が通るところを思いうかべます

   ウ 軸のまわりに1回転させたときに、図形が通るところを思いうかべます

   この問題、へんだと思ったら教えてください。

   答えがちがう気がする 文字や ことばが 読めない 図が出ない・くずれている そのほか

4. 4 半径 4 cm、中心角 45° のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。円周率は π とします。

   • ア 8π
   • イ π
   • ウ 2π
   • エ 9π
   答えと考え方を見る

   答え イ π

   円全体の周

   =

   2 × 4 × π

   8π cm。まず円1つ分を出します

   中心角の割合

   …

   45÷360

   円全体のうち、どれだけかを見ます

   8π × 45 ÷ 360

   =

   π

   割合の分だけが弧の長さです

   ア 円全体の周の長さです。中心角の割合をかけます

   ウ 面積の式を使っています。弧の長さは 2πr に中心角の割合をかけます

   エ おうぎ形のまわりの長さです。まわりには半径2本分がふくまれます

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   答えがちがう気がする 文字や ことばが 読めない 図が出ない・くずれている そのほか

5. 5 半径 8 cm、中心角 90° のおうぎ形の面積を求めなさい。円周率は π とします。

   • ア 32π
   • イ 16π
   • ウ 4π
   • エ 64π
   答えと考え方を見る

   答え イ 16π

   円全体の面積

   =

   8 × 8 × π

   64π cm²。まず円1つ分を出します

   中心角の割合

   …

   90÷360

   円全体のうち、どれだけかを見ます

   64π × 90 ÷ 360

   =

   16π

   割合の分がおうぎ形の面積です

   ア 2倍になっています。弧 × 半径 ÷ 2 の「÷ 2」を忘れた形です

   ウ 弧の長さの式を使っています。面積は πr² に中心角の割合をかけます

   エ 円全体の面積です。中心角の割合をかけます

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6. 6 底面の直径が 24 cm、高さが 9 cm の円柱の体積を求めなさい。円周率は π とします。

   • ア 1296π
   • イ 432π
   • ウ 144π
   • エ 5184π
   答えと考え方を見る

   答え ア 1296π

   半径

   =

   24÷2

   12 cm。直径の半分が半径です

   底面積

   =

   12 × 12 × π

   144π cm²

   144π × 9

   =

   1296π

   底面積 × 高さが柱体の体積です

   イ 3 でわるのは、すい体のときです

   ウ 底面積だけです。高さをかけます

   エ 直径をそのまま半径として使っています。半径は直径の半分です

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   答えがちがう気がする 文字や ことばが 読めない 図が出ない・くずれている そのほか

7. 7 1辺が 6 cm の正方形を底面とし、高さが 7 cm の四角すいの体積を求めなさい。

   • ア 14
   • イ 84
   • ウ 252
   • エ 42
   答えと考え方を見る

   答え イ 84

   底面積

   =

   6×6

   36 cm²。正方形の面積です

   36×7÷3

   =

   84

   すい体は、同じ底面・同じ高さの柱体の3分の1です

   ア 底面積は1辺 × 1辺です

   ウ 3 でわるのを忘れています。すい体は柱体の3分の1です

   エ 6 でわっています。すい体は柱体の3分の1です

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   答えがちがう気がする 文字や ことばが 読めない 図が出ない・くずれている そのほか

8. 8 直径が 16 cm の球の表面積を求めなさい。円周率は π とします。

   • ア 1024π
   • イ 128π
   • ウ 256π
   • エ 64π
   答えと考え方を見る

   答え ウ 256π

   半径

   =

   16÷2

   8 cm。直径の半分が半径です

   球の表面積

   …

   4 × π × r²

   半径の円の面積の4つ分です

   4×8×8

   =

   256π

   π をつけて答えます

   ア 直径をそのまま半径として使っています。半径は直径の半分です

   イ 上と下で円2つ分と考えています。球の表面積は円4つ分です

   エ 円の面積です。球の表面積は、その4つ分になります

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   答えがちがう気がする 文字や ことばが 読めない 図が出ない・くずれている そのほか

よくあるまちがい